微分法

在古典的微积分学中，微分被定义为变化量的线性部分，在现代的定义中，微分被定义为将自变量的改变量 映射到变化量的线性部分的线性映射 。这个映射也被称为切映射。给定的函数在一点的微分如果存在，就一定是唯一的。

在数学中，微分是对函数的局部变化率的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。当某些函数 的自变量 有一个微小的改变 时，函数的变化可以分解为两个部分。一个部分是线性部分：在一维情况下，它正比于自变量的变化量 ，可以表示成 和一个与 无关，只与函数 及 有关的量的乘积；在更广泛的情况下，它是一个线性映射作用在 上的值。另一部分是比 更高阶的无穷小，也就是说除以 后仍然会趋于零。当改变量很小时，第二部分可以忽略不计，函数的变化量约等于第一部分，也就是函数在 处的微分，记作 或 。如果一个函数在某处具有以上的性质，就称此函数在该点可微 ^[1]  。

不是所有的函数的变化量都可以分为以上提到的两个部分。若函数在某一点无法做到可微，便称函数在该点不可微。

微分法定义如下：

设函数 在某区间 内有定义。对于 内一点 ，当 变动到附近的 （也在此区间内）时，如果函数的增量 可表示为 （其中 是不依赖于 的常数），而 是比高阶的无穷小，那么称函数 在点 是可微的，且 称作函数在点 相应于自变量增量 的微分，记作 ，即 ， 是 的线性主部。

通常把自变量 的增量 称为自变量的微分，记作 ，即 。

（函数在一点的微分，其中红线部分是微分量 ，而加上灰线部分后是实际的改变量 。）

设 是曲线 上的点 在横坐标上的增量，是曲线在点 对应 在纵坐标上的增量， 是曲线在点 的切线对应 在纵坐标上的增量。当 很小时， 比 要小得多(高阶无穷小)，因此在点 附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段 ^[2]  。

和求导一样，微分有类似的法则，例如，如果设函数 、 可微，那么：

1)

2）

3） ，

4）若函数 可导，那么 。

如果说微分是导数的一种推广，那么微分形式则是对于微分函数的再推广。微分函数对每个点 给出一个近似描述函数性质的线性映射 ，而微分形式对区域 内的每一点给出一个从该点的切空间映射到值域的斜对称形式： 。在坐标记法下，可以写成：

其中的是-射影算子，也就是说将一个向量射到它的第个分量的映射。而是满足：

的k-形式。

特别地，当是一个从映射到的函数时，可以将写作：

正是上面公式的一个特例。